一、一元二次方程的定义和一般形式

1、一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）。其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。

对于方程$$ax^2 + bx + c = 0$$，只有当$$a eq 0$$时才是一元二次方程。反过来，如果说$$ax^2 + bx + c = 0$$是一元二次方程，则必须隐含$$a eq 0$$这个条件。

3、一元二次方程的根

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。

4、解一元二次方程

（1）直接开平方法

直接开平方法适用于可化为$$x^2 = p$$或$$(mx + n)^2 = p$$形式的一元二次方程。我们知道如果$$x^2 = 25$$，则$$x = pm sqrt{25}$$，即$$x = pm 5$$，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地，对于方程$$x^2 = p$$：

• 当$$p > 0$$时，方程有两个不等的实数根$$x_1 = sqrt{p}$$，$$x_2 = -sqrt{p}$$；

• 当$$p = 0$$时，方程有两个相等的实数根$$x_1 = x_2 = 0$$；

• 当$$p < 0$$时，因为对任意实数$$x$$，都有$$x^2 geq 0$$，所以方程无实数根。

（2）配方法

通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1. 化二次项系数为1；

2. 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

3. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$$(x + n)^2 = p$$的形式；

4. 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

（3）公式法

① 公式法的定义

解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）。当$$b^2 - 4ac geq 0$$时，方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的实数根可写为$$x = rac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$的形式，这个式子叫做一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

② 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系

一般地，式子$$b^2 - 4ac$$叫做方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的根的判别式，通常用希腊字母$$Delta$$表示，即$$Delta = b^2 - 4ac$$。

• 当$$Delta = b^2 - 4ac > 0$$时，一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）有两个不相等的实数根，即$$x_1 = rac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$，$$x_2 = rac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$；

• 当$$Delta = b^2 - 4ac = 0$$时，一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）有两个相等的实数根，即$$x_1 = x_2 = -rac{b}{2a}$$；

• 当$$Delta = b^2 - 4ac < 0$$时，一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）无实数根。

③ 利用公式法解一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的一般步骤：

1. 将一元二次方程整理成一般形式；

2. 确定公式中$$a$$，$$b$$，$$c$$的值；

3. 求出$$b^2 - 4ac$$的值；

4. 当$$b^2 - 4ac geq 0$$时，将$$a$$，$$b$$，$$c$$的值及$$b^2 - 4ac$$的值代入求根公式即可；当$$b^2 - 4ac < 0$$时，方程无实数根。

④ 一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：

• 不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况；

• 根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围；

• 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）。

（4）因式分解法

① 因式分解法的定义

将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的核心是“降次”，适用于左边能因式分解的一元二次方程。

② 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤

1. 移项——将方程的右边化为0；

2. 化积——将方程的左边分解为两个一次式的乘积；

3. 转化——令每个一次式分别为零，得到两个一元一次方程；

4. 求解——解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

5、一元二次方程的根与系数的关系

当$$b^2 - 4ac geq 0$$时，一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）有两个实数根$$x_1$$，$$x_2$$，且满足求根公式$$x = rac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$，则有：

$$x_1 + x_2 = rac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + rac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -rac{b}{a}$$

$$x_1x_2 = rac{(-b + sqrt{b^2 - 4ac})(-b - sqrt{b^2 - 4ac})}{4a^2} = rac{c}{a}$$

即$$x_1$$，$$x_2$$满足$$x_1 + x_2 = -rac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = rac{c}{a}$$。

二、一元二次方程的相关例题

例题1：配方法求解方程

用配方法解方程$$x^2 - 2x - 1 = 0$$时，配方后所得的方程为（ ）

• A．$$(x + 1)^2 = 0$$

• B．$$(x - 1)^2 = 0$$

• C．$$(x + 1)^2 = 2$$

• D．$$(x - 1)^2 = 2$$

答案：D

解析：$$x^2 - 2x - 1 = 0$$，移项得$$x^2 - 2x = 1$$。配方时，一次项系数为-2，其一半的平方为1，方程两边同时加1得$$x^2 - 2x + 1 = 1 + 1$$，即$$(x - 1)^2 = 2$$。

例题2：因式分解法求解方程

用因式分解法解方程$$x^2 - 5x + 6 = 0$$，下列解法正确的是（ ）

• A．$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，则$$x - 2 = 0$$或$$x - 3 = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$

• B．$$(x + 2)(x + 3) = 0$$，则$$x + 2 = 0$$或$$x + 3 = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = -3$$

• C．$$(x + 2)(x - 3) = 0$$，则$$x + 2 = 0$$或$$x - 3 = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = 3$$

• D．$$(x - 2)(x + 3) = 0$$，则$$x - 2 = 0$$或$$x + 3 = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = -3$$

答案：A

解析：对$$x^2 - 5x + 6$$因式分解，需找到两个数，其和为-5，积为6，这两个数为-2和-3，因此$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$，原方程化为$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$。

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