抽屉原理的含义及相关例题

　　一、抽屉原理的含义

　　1、抽屉原理

　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们都会发现至少有一个抽屉里面放了不少于两个苹果。这一常见现象，就是我们所说的“抽屉原理”，其核心思想是利用“存在性”分析，即无论如何分配，必然存在某种特定的分布状态。

　　2、抽屉原理的含义

　　抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是组合数学中一个重要的基础原理，广泛应用于存在性证明、计数分析等场景。

　　3、第一抽屉原理

　　原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

　　原理2：把多于mn+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)个的物体。

　　原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无数个物体。

　　4、第二抽屉原理

　　把(mn−1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m−1)个物体。例如，将3×5−1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3−1=2个。这一原理与第一抽屉原理互为补充，适用于分析“至多”型的分布问题。

　　二、抽屉原理的相关例题

　　例题1(基础应用)：教室里有38名学生，至少有几名学生的生日在同一个月?

　　答案：4名

　　解析：一年有12个月，可将其视为12个“抽屉”，38名学生视为38个“物体”。根据第一抽屉原理2.m=3.n=12.mn=36.38>36+1=37.因此至少有m+1=4名学生的生日在同一个月。

　　例题2：将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1.2.3.4.5.6.7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件。若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有多少种?

　　A.60 B.120 C.240 D.480

　　答案：C

　　解析：第一步，将相邻的文件视为整体：把A、B看作一个“整体抽屉”(记为AB)，C、D看作另一个“整体抽屉”(记为CD)，E单独为一个抽屉，剩余2个空抽屉为相同元素。此时共形成5个需排列的元素(AB、CD、E、空、空)。第二步，计算排列数：5个元素的全排列数为A₅⁵(5×4×3×2×1=120);A、B在整体内可互换位置，排列数为A₂²=2.C、D同理也为A₂²=2;由于2个空抽屉无差异，需除以重复排列数A₂²=2.第三步，总方法数=(A₅⁵×A₂²×A₂²)÷A₂²=120×2×2÷2=240种。故答案为C。

　　相关信息仅供参考