函数的定义域及相关应用详解

　　一、函数的定义域及原则

　　1、定义：

　　设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。

　　2、确定函数定义域的原则

　　(1) 当函数y=f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

　　(2) 当函数y=f(x)用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合。

　　(3) 当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合(常见约束条件：分母不为0、偶次根式被开方数非负等)。

　　(4) 当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际意义限制(例如：表示人数、长度的变量需为非负实数)。

　　提醒：函数的定义域是非空数集，这是函数概念的基本要求。

　　二、函数的定义域相关例题

　　求下列函数的定义域

　　(1) y=2x+3;

　　(2) f(x)=1/(x+1);

　　(3) y=√(1−x) + 1/(x+5);

　　(4) y=3/[1−√(1−x)]。

　　答案：

　　(1) {x∣x∈R}

　　(2) {x∣x≠−1}

　　(3) {x∣x≤1且x≠−5}

　　(4) {x∣x≤1且x≠0}

　　解析：

　　(1) 一次函数y=2x+3对全体实数x均有意义，因此函数的定义域为{x∣x∈R}。

　　(2) 要使分式函数有意义，需保证分母不为0.则有x+1≠0.解得x≠−1.故函数的定义域为{x∣x≠−1}。

　　(3) 该函数含偶次根式和分式，需同时满足两项约束条件： ①偶次根式被开方数非负：1−x≥0; ②分式分母不为0：x+5≠0. 联立不等式组{1−x≥0. x+5≠0}，解得x≤1且x≠−5.故所求定义域为{x∣x≤1且x≠−5}。

　　(4) 函数含偶次根式和分式，需满足三重约束条件： ①偶次根式被开方数非负：1−x≥0; ②分式分母不为0：1−√(1−x)≠0; ③偶次根式本身有意义(已包含在①中)。 联立不等式组{1−x≥0. 1−√(1−x)≠0}，解得x≤1且√(1−x)≠1.即x≤1且x≠0.故所求定义域为{x∣x≤1且x≠0}。

　　相关信息仅供参考