面面垂直的判定定理与一般性质详解

　　一、面面垂直的判定定理和一般性质

　　1、二面角

　　(1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

　　(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

　　(3)二面角的表示方法

　　①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α—AB—β。

　　②棱为l，面分别为α，β的二面角记作二面角α—l—β。

　　③棱为AB，若在α，β面内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P—AB—Q。

　　(4)二面角的平面角

　　在二面角α—l—β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。需要注意的是，二面角的平面角大小与棱上点O的选取无关，是唯一确定的。

　　二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　二面角的平面角的取值范围为[0°,180°]。

　　2、平面与平面垂直

　　定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β。

　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。(核心逻辑：将面面垂直转化为线面垂直判定)

　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。(核心逻辑：将面面垂直转化为线面垂直应用)

　　平面与平面垂直的一般性质和结论

　　(1)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。

　　(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。

　　(3)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

　　(4)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。

　　基础小例题：面面垂直判定的直接应用

　　例题1：已知直线l⊥平面α，直线l⊂平面β，求证：α⊥β。

　　证明：由面面垂直的判定定理“一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直”可知，因为l⊥α且l⊂β，即平面β过平面α的垂线l，所以α⊥β。该例题直接考查判定定理的核心应用，帮助理解“线面垂直推面面垂直”的转化思想。

　　二、面面垂直的判定定理的相关例题

　　在正四面体P−ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是___

　　A.BC ∥ 平面PDF

　　B.DF⊥ 平面PAE

　　C.平面PDF⊥ 平面ABC

　　D.平面PAE⊥ 平面ABC

　　答案：C

　　解析：对于A选项，∵D、F分别为AB、AC的中点，∴由三角形中位线定理得BC∥DF。又∵BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，根据线面平行的判定定理“如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行”，可得BC ∥ 平面PDF，A选项正确;

　　对于B选项，∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC;同理，正四面体中PA=PB=PC，E为BC中点，故PE⊥BC。又∵AE∩PE=E，且AE、PE均⊂平面PAE，根据线面垂直的判定定理“如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直”，可得BC⊥平面PAE。结合A选项中BC∥DF，故DF⊥平面PAE，B选项正确;

　　对于C选项，设DF∩AE=G，连接PG。假设平面PDF⊥平面ABC成立，∵D、F分别为AB、AC的中点，∴DF∥BC，且DF∩AE=G，则G为AE的中点。由B选项知DF⊥平面PAE，又PG⊂平面PAE，故PG⊥DF。若平面PDF⊥平面ABC，且平面PDF∩平面ABC=DF，PG⊂平面PDF，根据面面垂直的性质定理，可得PG⊥平面ABC。过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，∵P−ABC是正四面体，O为等边△ABC的中心，故AO=2/3AE，而G为AE中点，AG=1/2AE，显然AO≠AG，矛盾，因此平面PDF⊥平面ABC不成立，C选项错误;

　　对于D选项，由B选项知BC⊥平面PAE，又∵BC⊂平面ABC，根据面面垂直的判定定理，可得平面PAE⊥平面ABC，D选项正确。综上，答案选C。

　　相关信息仅供参考