方差与标准差：定义、公式及例题解析

　　一、方差的计算公式和定义

　　1、方差

　　设有n个数据x₁，x₂，⋯，xₙ，各数据与它们的平均数x̄的差的平方分别是(x₁−x̄)²，(x₂−x̄)²，⋯，(xₙ−x̄)²。我们用这些值的平均数，即用1/n[(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+⋯+(xₙ−x̄)²]来衡量这组数据波动的大小，将其称为这组数据的方差，记作s²，它是统计学中描述数据离散程度的核心指标之一。

　　2、标准差

　　标准差又称标准偏差或实验标准差，其本质是方差的算术平方根，计算公式为：

　　$$s=sqrt{ rac{1}{n}[(x_1-ar{x})^2+(x_2-ar{x})^2+cdots+(x_n-ar{x})^2]}$$

　　标准差和方差均用于描述一组数据与平均数的离散程度，反映数据相对于平均数的波动情况：标准差和方差越大，说明数据波动性越强，离散程度越大;反之，标准差和方差越小，说明数据波动性越弱，离散程度越小。

　　二、方差的计算公式的相关例题

　　若样本x₁，x₂，x₃，⋯，xₙ的平均数为12.方差为4.则对于样本x₁+2.x₂+2.x₃+2.⋯，xₙ+2.下列结论正确的是( )

　　A.平均数为12.方差为6 B.众数不变，方差为8 C.平均数为14.方差为4 D.中位数变小，方差改变

　　答案：C

　　解析：样本x₁+2.x₂+2.x₃+2.⋯，xₙ+2相较于原样本x₁，x₂，⋯，xₙ，每个数据均在原有基础上增加2.根据平均数、方差的变化规律：一组数据同时加上(或减去)同一个常数，平均数会相应增加(或减少)该常数，而方差不变。因此，新样本的平均数为12+2=14.方差仍为4.故选C。

　　相关信息仅供参考