一、最大公因数与最小公倍数的核心定义

　　公因数和最大公因数

　　公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。例如：4 和 6 的公因数有 1、2.公因数是所有数共有的因数集合。

　　最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数(常用缩写 GCD)。整数 a、b 的最大公因数记为 (a,b)，多个数同理(如 (a,b,c))。

　　互质数和互质：公因数只有 1 的两个数叫做互质数(也叫互素数)，当两个或多个数是互质数时，称它们互质。例如：3 和 5 是互质数，7 和 8 也是互质数，互质的数不一定是质数。

　　公倍数和最小公倍数

　　公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数(公倍数有无数个)。

　　最小公倍数：除 0 以外最小的一个公倍数，叫做这几个整数的最小公倍数(常用缩写 LCM)。整数 a、b 的最小公倍数记为[a,b]，多个数同理(如[a,b,c])。

　　核心定理：(a,b)×[a,b]=ab(a、b 均为非零整数)，该定理是快速计算最小公倍数的关键，适用于所有非零整数组合。

　　求最大公因数的 3 种常用方法(附适用场景)(1)枚举法

　　定义：将每个数的因数全部列举出来，筛选出公有因数，其中最大的即为最大公因数。

　　适用的场景：适合较小的数(比如 10 以内的数组合)，步骤清晰和易懂。

　　示例步骤：① 分别列出各数的所有因数;② 标记公有因数;③ 选取最大的公有因数。

　　(2)分解质因数法

　　定义：先把各个数分解为质因数相乘的形式，然后再提取所有数公有的质因数(取最低次幂)，连乘所得的积即为最大公因数。

　　核心要点：公有的质因数必须是所有数共有的，且只取每个质因数的最小指数。

　　适用场景：中等大小的数，计算精准且高效。

　　(3)短除法

　　定义：用各数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，将商写在对应数下方，直到所有商互质(公因数只有 1)，最后把所有除数连乘，结果即为最大公因数。

　　操作的步骤：① 选最小公质因数作除数;② 逐次除至商互质;③ 除数相乘得结果。

　　适用场景：多个数或较大数的最大公因数计算，效率高。

　　二、最大公因数典型例题(替换优化)

　　题目：24 和 36 的最大公因数为___A.8 B.12 C.24 D.36

　　答案是：B

　　答案解析：方法 1(分解质因数法)：将两个数分解为质因数形式，24=2³×3¹，36=2²×3²，提取公有的质因数(2 和 3)，取最低次幂相乘：2²×3¹=4×3=12.方法 2(短除法)：用公有的质因数 2 去除 24 和 36.商为 12 和 18;再用 2 去除，商为 6 和 9;继续用 3 去除，商为 2 和 3(此时商互质);将所有除数(2×2×3)相乘，结果为 12.故选 B。