一、标准差的定义和公式

　　1、标准差

　　标准差是方差的算术平方根，用 σ 表示，也被称为标准偏差。它是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是统计分析、数据分析中衡量数据精确度的重要指标，广泛应用于质量控制、成绩评估、市场调研等场景。

　　2、标准差公式

　　标准差公式为：(S=sqrt{ rac{1}{n}[(x_1-ar{x})^2+(x_2-ar{x})^2+cdots+(x_n-ar{x})^2]})其中，n 为数据的总个数，(x_1、x_2……x_n) 为组内各个数据，(ar{x}) 为这组数据的平均数。

　　3、方差

　　设有 n 个数据(x_1.x_2.cdots，x_n)，各数据与它们的平均数(ar{x})的差的平方分别是((x_1-ar{x})^2.(x_2-ar{x})^2.cdots，(x_n-ar{x})^2)。我们用这些值的平均数，即( rac{1}{n}[(x_1-ar{x})^2+(x_2-ar{x})^2+cdots+(x_n-ar{x})^2])来衡量这组数据波动的大小，这个数值叫做这组数据的方差，记作(s^2)，是衡量数据波动的核心指标之一。

　　4、方差公式

　　方差公式为：(s^2= rac{1}{n}[(x_1-ar{x})^2+(x_2-ar{x})^2+cdots+(x_n-ar{x})^2])公式中各符号含义与标准差公式一致。

　　5、标准差与数据离散程度的关系

　　标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度：标准差越大，数据的离散程度越大，数据分布越分散;标准差越小，数据的离散程度越小，数据分布越集中。显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差的作用是一致的，但在解决实际问题中，由于标准差与原数据单位相同、更易理解，一般多采用标准差。

　　二、标准差的相关例题

　　数据 5.7.7.8.10.11 的中位数和标准差分别为( )A.中位数为 7 ，标准差为 2B.中位数为 7 ，标准差为 4C.中位数为 7.5 ，标准差为 4D.中位数为 7.5 ，标准差为 2

　　答案：D

　　解析：第一步求中位数，将数据按从小到大顺序排列为 5.7.7.8.10.11.由于数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均值，即( rac{7+8}{2}=7.5);第二步求平均数，(ar{x}= rac{1}{6}×(5+7+7+8+10+11)=8);第三步求标准差，按标准差计算公式，先算各数据与平均数差的平方和，再除以数据个数，最后开平方，即：(s=sqrt{ rac{1}{6}[(5-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(11-8)^2]}=2)。故选：D