一、方差的计算公式和定义

　　1、方差

　　设有n个数据(x_1)，(x_2)，⋯，(x_n)，各数据与它们的平均数(ar{x})的差的平方分别是((x_1-ar{x})^2)，((x_2-ar{x})^2)，⋯，((x_n-ar{x})^2)。我们用这些平方值的平均数来衡量这组数据波动的大小，这个平均数叫做这组数据的方差，记作(s^2)。

　　方差的计算公式为：$$s^2 = rac{1}{n}[(x_1-ar{x})^2 + (x_2-ar{x})^2 + dots + (x_n-ar{x})^2]$$

　　2、标准差

　　标准差是方差的算术平方根，也用于描述数据的离散程度，其单位与原数据单位一致。标准差记作(s)，计算公式为：

　　$$s = sqrt{ rac{1}{n}[(x_1-ar{x})^2 + (x_2-ar{x})^2 + dots + (x_n-ar{x})^2]}$$

　　核心结论：标准差和方差越大，说明这组数据相对于平均数的波动性越大(离散程度越大);反之，标准差和方差越小，数据的波动性越小(离散程度越小)。

　　二、方差的计算公式相关例题

　　例题：已知样本(x_1)，(x_2)，(x_3)，⋯，(x_n)的平均数为10.方差为4.若对该样本中每个数据都减去3.得到新样本(x_1-3)，(x_2-3)，(x_3-3)，⋯，(x_n-3)，则新样本的平均数和方差分别为( )

　　A.平均数为10.方差为2 B.众数不变，方差为4 C.平均数为7.方差为4 D.中位数变小，方差不变

　　答案：C

　　解析：当样本中每个数据都减去同一个常数(a)时，根据统计量的变化规律：平均数会同步减去(a)，而方差(反映数据波动程度)不受常数加减操作的影响。本题中(a=3)，因此新样本的平均数为(10-3=7)，方差仍为4.综上，正确答案为C。

　　小例题补充：若一组数据为2.4.6.8.10.求其方差。

　　解析：第一步，计算平均数(ar{x} = rac{2+4+6+8+10}{5} = 6);第二步，代入方差公式：(s^2 = rac{1}{5}[(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2] = rac{1}{5}[16+4+0+4+16] = 8)。

　　相关信息仅供参考