等比数列的定义和通项公式
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)，即an−1an=q(n⩾2)。
关键补充说明
等比数列中任一项都不为 0.且公比 q≠0.这是数列成等比的前提条件。
例如数列 2.4.8.16.…，每一项与前一项的比都是 2.这就是公比为 2 的等比数列;而数列 0.0.0.… 虽为常数列，但不是等比数列。
常数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，只有各项非零的常数列才是等比数列(公比 q=1)。
二、等比数列的通项公式
1. 通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为 q，则通项公式为an=a1qn−1(a1,q=0)。
记忆要点：q 的指数比项数 n 小 1.这是区分等比数列通项与其他数列公式的关键。
2. 推导拓展式
由an=a1qn−1和am=a1qm−1.可推出aman=qn−m，即an=amqn−m。
该推导式的实用场景：
已知等比数列中任一项am及公比 q，可直接求任意项an，无需先求首项a1。
已知等比数列中两项am和an，可快速求出公比 q，简化计算步骤。
3. 等比数列中项的正负规律
若 q<0.数列中正负项间隔出现(如 1.-2.4.-8.…);若 q>0.数列各项同号。
核心结论：等比数列的奇数项必同号，偶数项也必同号，可用于快速判断项的符号特征。
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G(G≠0)，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
核心关系
若 G 是 a 与 b 的等比中项，则aG=Gb，即G2=ab，因此G=±ab。
关键注意事项
任意两个数有唯一等差中项，但不一定有等比中项;只有当两个数同号且不为 0 时，才有等比中项。
例如 3 和 12 同号且不为 0.它们的等比中项为 ±6.满足62=3×12.(−6)2=3×12.
两个同号非零数的等比中项有两个，且互为相反数;在等比数列{an}中，从第 2 项起(有穷等比数列末项除外)，每一项是前一项与后一项的等比中项，即，。
四、等比数列与函数的关系
等比数列{an}的通项公式an=a1qn−1(a1,q=0)可改写为an=qa1⋅qn。
当 q>0 且 q≠1 时，等比数列{an}的图象是指数型函数y=qa1⋅qx图象上的孤立点，两者的增减性一致。
数列增减性判断(结合函数性质)
当{a1>0.q>1a1<0.0
当{a1>0.0
当 q=1 时，数列是各项非零的常数列;
当 q<0 时，数列是摆动数列(奇数项同号、偶数项同号，奇偶项异号)。
五、等比数列的性质(附应用提示)
设{an}是公比为 q 的等比数列，核心性质如下：
有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积相等，且等于首末两项之积，即a1an=a2an−1=a3an−2=⋯=aman−m+1。
若 m，n，p∈N∗且成等差数列，则，，成等比数列，即an2=amap。
若 m+n=p+q(m，n，p，q∈N∗)，则aman=apaq;特别地，若 m+n=2p，则aman=ap2(此性质常用于求项的积或判断三项成等比)。
衍生数列性质：
{λan}(λ≠0)是公比为 q 的等比数列;
{an1}是公比为q1的等比数列;
{∣an∣}是公比为∣q∣的等比数列;
若{bn}公比为q′，则{an⋅bn}公比为q⋅q′。
正数等比数列的对数性质：若{an}各项为正，则{lgan}是公差为lgq的等差数列。
连续 k 项相关性质：连续相邻 k 项的和(不为 0)构成公比为qk的等比数列;连续相邻 k 项的积构成公比为qk2的等比数列。
隔项取数性质：每隔 k(k∈N∗)项取一项，所得数列仍为等比数列，公比为qk+1.
六、等比数列典型例题(替换版)
例题
已知等比数列{an}满足a3=6.a6=48.求首项a1和第 8 项a8的值。
答案
a1=23，a8=192
解析
由等比数列通项公式an=a1qn−1.可得{a3=a1q2=6a6=a1q5=48;
两式相除，a1q2a1q5=q3=648=8.解得 q=2;
将 q=2 代入a1q2=6.得a1×4=6.解得a1=46=23;
求a8：利用an=amqn−m，取 m=6.n=8.则a8=a6q8−6=48×22=48×4=192.
